METODE LAGRANGE

METODE LAGRANGE

Metode ini adalah cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi yang diiringi dengan persyaratan atau kendala yang harus dipenuhi. Metode ini banyak digunakan dalam berbagai masalah terapan di dunia nyata, terutama di bidang ekonomi. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan, tapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja dan sebagainya.

Misalnya untuk mencari nilai minimum dari +2 + +4 adalah suatu masalah ekstrim bebas. Untuk mencari nilai minimum +2 + +4 terhadap syarat bahwa x+3y-z=7 adalah masalah nilai ekstrim terkendala.

Contoh mencari jarak minimum dari permukaan = +4 ke titik asal. Kita rumuskan masalah sebagai peminimuman = + +  terhadap kendala = +4 . kita atasi masalah ersebut dengan memsubsitusikan nilai  dari kendala dalam rumus untuk  dan kemudian menyelesaikan masalah ekstrim bebas (yakni tanpa kendala) yang di hasilkan.

Contoh masalah optimasi terkendala. Nilai maksimum harus terjadi pada perbatasan daerah S,sehingga kita dibawa ke masalah permaksimuman z=2+ +  berdasarkan kendala +  = 1. Masalah ini diselesaikan dengan mencari parameterisasi untuk kendala dan kemudian memaksimumkan fungsi satu variabel (variabel yang merupakan parameter dasi kendala). Tetapi ,seringkali terjadi bahwa persamaan kendala tidak mudah diselesaikan untuk salah satu variabel dan kendatipun hal ini dapat dikerjakan, bisa saja terdapat penyelesaian yang lebih praktis , ini adalah metode pengali langrange.

Metode langrange menyediakan suatu prosedur aljabar untuk menentukan titik-titik  dan . Karena di titik-titik tersebut ,kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung (yaitu , mempunyai suatu garis singgung bersama), kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus bersama. Tetapi di sebarang titik dari kurva ketinggian, vektor gradien  adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian. Dan dengan cara tersebut  adalah tegak lurus terhadap kurva kendala.  :

  

Teorema metode pengali lagrange

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan  terhadap kendala , selesaikan sistem persamaan dengan :                            Untuk P dan ƛ. Tiap titik P yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrim terkendala, dan ƛ yang berpadaan disebut pengali lagrange.

 

Contoh soal ! 1. carilah minimum f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 terhadap kendala x+3y-2z=12
 Penyelesaian :
 ∇f=∇g.λ
(2xi+2yj+2zk)=λ.(i+3j-2k) → turunan dari f(x,y,z) dan g(x,y,z)
2x=λ……...(1)
2y=3λ λ=2y/3………(2)
2z=-2λ λ=-z………(3)
Subsitusikan persamaan (2) ke (1)
2x=2y/3
6x=2y y=3x
Subsitusikan persamaan (3) ke (1)
2x=-z
z=-2x
Subsitusikan x,y,z ke dalam persamaan g(x,y,z)
g(x,y,z)=x+3y-2z-12=0
x+3(3x)-2(-2x)-12=0
x+9x+4x-12=0
14x=12
x=12/14=6/7
Subsitusikan x ke dalam persamaan y dan z
y=3x=3 .6/7=18/7
z=-2x=-2 .  6/7=-12/7
Kemudian subsitusikan x,y,z ke dalam x^2+y^2+z^2
Jadi minimum kendala f=(6/7,18/7,-12/7)=36/49+324/49+144/49=504/49=72/7